Løsning af ligningssystem ved Gauss elimination

Dokument oprettet:	22 Mar 2008
Senest ændret:	21 Aug 2010

Gauss elimination er en systematisk metode til løsning af et lineært ligningssystem. Der tages i dette opslag udgangspunkt i ligningssystemet med ukendte strømme, der er opstillet i artiklen om Kirchhoff's love.

Gauss elimination ved håndkraft
Gauss elimination med maskine

Gauss elimination ved håndkraft

Det ordnede ligningssystem fra nævnte artikel (ukendte størrelser med koefficienter placeret i rækkefølge på venstre side af lighedstegn og konstanter på højre side) ser således ud:

Koefficienterne på venstre side af lighedstegnet i de tre ligninger, og konstanterne på højre side, indskrives i en "totalmatrix".

Der skal nu udføres nogle regneoperationer på rækkerne i matricen således, at matricen ender med at se ud som følger:

Betydningen af ovenstående (reducerede echelon) form er, at den ukendte I₁ er lig med det givne tal ude til højre i første række, at I₂ er lig med tallet ude til højre i anden række osv. Indholdet i matricen kan fortolkes som følger:

Følgende talmanipulationer kan udføres på rækkerne i matricen når matricen skal omdannes til den reducerede echelonmatrix:

Der kan byttes om på rækkefølgen af rækker.
En række kan trækkes fra eller lægges til en anden række.
Et tal kan, bortset fra nul, multipliceres med de enkelte tal i en række.

Totalmatricen, der anvendes til eksempel, skal nu omdannes til den reducerede echelonmatrix ved brug af ovenstående regneregler.

Der startes oppe i venstre hjørne. Der står allerede et 1-tal, som det er ønsket ifølge skabelonen. Ved talmanipulationer skal der skal nu skabes nuller under dette 1-tal.

Fra de enkelte tal i række to er der blevet fratrukket det ovenstående tal i række et multipliceret med 220. Der står allerede et nul på tredje række i første kolonne, så her skal der ikke gøres noget.

Der skal nu skråt nedefter mod højre dannes et 1-tal i midterrækken.

Hvert enkelt tal i række to er blevet divideret med 370. Næste trin er at få skabt et nul under det nydannede 1-tal.

Der skal nu dannes et 1-tal i nederste række i kolonne tre for at fuldende echelonformen.

Der fortsættes med talmanipulationerne for at nå til den reducerede echelonform med nuller både under og over den skrå linje med 1-taller.

Resultatet er i overensstemmelse med tallene fundet via andre metoder i den refererede artikel.

Gauss elimination med maskine

Funktionen rref() findes fx i regneprogrammet Mathcad og på grafregneren TI-89. Bogstaverne står for Reduced Row Echelon Form. Funktionen giver den reducerede echelonmatrix ud fra en indtastet totalmatrix.

Nedenstående billede er et screenshot fra TI-89. Totalmatricen er gemt i variablen a. Funktionen rref(a) frembringer den reducerede echelonmatrix.

Interne links til emner i dette opslag:

Kirchhoff's love

Eksterne links til emner i dette opslag:

Matricer og lineære ligninger [Mogens Oddershede Larsen] (pdf)
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination [DTU] (pdf)
Gaussian elimination [Wikipedia]
Gaussian elimination [University of South Florida]

Home